PERMUTASI DAN KOMBINASI

KAIDAH PENCACAHAN

Kaidah pencacahan (counting rules) merupakan sebuah cara atau aturan untuk menghitung seluruh kemungkinan yang bisa terjadi dalam suatu percobaan tertentu. Terdapat beberapa metode dalam kaidah pencacahan, diantaranya: Aturan Pengisian Tempat, Permutasi, dan Kombinasi. Aturan Pengisian Tempat Apabila suatu peristiwa dapat terjadi dengan tahap yang berurutan, dimana tahap pertama terdapat a_1 cara yang berbeda, tahap kedua terdapat a_2 cara yang berbeda, dan seterusnya sampai dengan tahap ke-n yang dapat terjadi dalam an cara yang berbeda, maka total banyaknya cara yang dapat terjadi dari peristiwa tersebut adalah a1 x a2 x a3 x ... x an Sebagai ilustrasi, misalkan seorang Mahasiswa memiliki 3 buah kemeja dan 2 buah celana yang masing-masing memiliki warna berbeda. Berapa pasangan warna kemeja dan celana yang dapat dibuat? Jika himpunan kemeja adalah k=(k1,k2,k3) =3 dan himpunan celana adalah c=(c1,c2)=2, maka banyaknya pasangan warna kemeja dan celana yang dapat dibuat adalah: ak x ac = 2 x 3 = 6 

 PERMUTASI 

Permutasi adalah susunan yang berurutan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan. Permutasi merupakan pola pengambilan yang memperhatikan urutan (dimana AB tidak sama dengan BA). Dalam mempelajari permutasi, perlu dipahami terlebih dahulu terkait faktorial. Hasil kali bilangan bulat 1 sampai n adalah n! (dibaca n faktorial), atau: n!=n x(n-1)x(n-2).......... 

Sebagai contoh, n! = n x(n-1) x (n-2) x........\2 \1 Berikut ini merupakan jenis – jenis permutasi: Permutasi dari elemen, tiap permutasi terdiri dari elemen Jika ada unsur yang berbeda diambil dari n unsur, maka banyaknya permutasi yang berbeda dari n unsur tersebut adalah: Sebagai contoh, seorang anak akan menata 5 gelas dengan warna berbeda di atas meja. Maka, banyaknya cara untuk menyusun gelas tersebut adalah: P_5^5=5!=5 x 4 x 3 x 2 x 1=120 cara Permutasi dari n elemen, tiap elemen terdiri dari r unsur dari n elemen dengan \rleq n Untuk semua bilangan positif n dan r (dengan \rleq n), banyaknya permutasi dari n objek yang diambil r objek pada satu waktu adalah: 

 \[ P_r^n=\frac{n!}{(n-r)!} \] 

 Rumus ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan pemilihan suatu jabatan kepengurusan, maupun peringkat dalam kejuaraan (dimana urutan diperhatikan). Sebagai contoh, banyaknya cara untuk memilih seorang ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara dari 7 siswa yang tersedia adalah: Banyaknya siswa: n=7 Banyak pilihan objek (ketua, wakil ketua, sekretaris, bendahara): r=4 Maka, banyaknya cara yang bisa dipilih adalah: \[P_r^n=P_4^7=\frac{7!}{(7-4)!)}=\frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3!}=840\] Permutasi dari n unsur yang mengandung p,q dan r unsur yang sama \[ P_{k_1,k_2,k_t}^{n} = \frac{n!}{k_1!k_2!…k_t!} \] dimana: n = banyaknya elemen keseluruhan k_1 = banyaknya elemen kelompok 1 yang sama k_2 = banyaknya elemen kelompok 2 yang sama … k_t = banyaknya elemen kelompok t yang sama